Смежные классы. Нормальные делители

Подгруппа H группы G называется нормальным делителем, если для каждого элемента g группы G его левый и правый смежные классы по подгруппе H равны, т.е. gH =Hg .

Теорема 2.5. Подгруппа H группы G является нормальным делителем тогда и только тогда, когда содержится в H при любых g из G и h из H .

Доказательство очевидно.

Пусть H – нормальный делитель группы G . На множестве смежных классов введем операцию умножения, индуцируемую групповой операцией. Под произведением смежных классов aH и bH будем понимать множество всевозможных произведений элементов из aH на элементы bH . Поскольку H – нормальный делитель, то все эти произведения содержатся в смежном классе (ab )H . Таким образом, на множестве смежных классов введена операция. Эта операция ассоциативна (aHbH )cH =aH (bHcH ), существует нейтральный элемент H , и для каждого элемента aH существует обратный a -1 H . Следовательно, множество смежных классов, относительно введенной операции, образуют группу, которая называется факторгруппой.

Гомоморфизм групп.

Однозначное отображение группы G в группу H , сохраняющее операцию, называется гомоморфизмом группы G в H .

Изоморфизм является частным случаем гомоморфизма.

Свойство 2.9. При гомоморфизме нейтральный элемент группы G отображается в нейтральный элемент группы H .

Доказательство вытекает из равенства .

Множество элементов группы G , отображающихся в нейтральный элемент, называют ядром гомоморфизма и обозначают .

Свойство 2.10.

Доказательство . Так как , то .

Свойство 2.11. Ядро гомоморфизма является нормальным делителем группы G .

Доказательство . Для a из G и b из ядра справедливо , то есть .

Множество элементов группы H , являющиеся образами элементов G , называют множеством образов и обозначают .

Свойство 2.12. Множество образов является подгруппой H .

Доказательство очевидно.

Теорема 2.6. Факторгруппа изоморфна .

Доказательство . Соответствие является взаимно однозначным и сохраняет операцию, следовательно, оно определяет изоморфизм и .

Теорема 2.7. Для любого нормального делителя H группы G существует гомоморфизм, ядро которого равно H . В частности таким гомоморфизмом из G в G/H является .

Доказательство очевидно.

Нормальный ряд

Докажем две теоремы о гомоморфизмах.

Теорема 2.8. Пусть H нормальный делитель группы G и P – подгруппа G . Тогда - нормальный делитель P и

Доказательство . Пусть и . Тогда так как H нормальный делитель G , и т.к все элементы из P . Следовательно, - нормальный делитель P . Соответствие является взаимно однозначным и сохраняет операцию. Теорема доказана.

Теорема 2.9. Пусть P – нормальный делитель и . Тогда T – нормальный делитель G и .

Доказательство . Рассмотрим , где , . Поскольку , то , и, значит T – нормальный делитель G . Соответствие является взаимно однозначным, т.к. и сохраняет операцию.

Группа называется простой, если в ней нет нормального делителя отличного от нее самой и единичной подгруппы.

Нормальный ряд группы – последовательность подгрупп, в которой каждая следующая является нормальным делителем предыдущей. Если все группы нормального ряда содержатся в нормальном ряде , то говорят, что второй нормальный ряд получен уплотнением первого нормального ряда.

Нормальный ряд без повторений, который нельзя уплотнить называется композиционным.

Для нормального ряда определены факторы . Два нормальных ряда называются изоморфными, если все факторы первого ряда изоморфны факторам второго ряда переставленным в определенном порядке.

Свойство 2.13. Если нормальные ряды и изоморфны, то для каждого уплотнения первого ряда можно найти изоморфное ему уплотнение второго ряда.

Доказательство. Допустим, что между подгруппами и появились новые подгруппы . Поскольку и, значит, факторы изоморфны соответствующим подгруппам . Обозначим через соответствующую подгруппу . Определим последовательность групп , где i =1,…,t . По доказанной выше теореме . Таким образом, уплотнение второго ряда группами является изоморфным. свойство доказано.

Введение 2
1. Определение и примеры групп 4
2. Подгруппы 8
3. Циклические группы. 13
4. Нормальные делители, фактор-группы 17
5. Идеал подгруппы в группе. Теорема Лагранжа и следствия из неё. 22
6. Использование нормальных делителей групп при решении задач 26
Заключение 29
Список литературы 30

Введение

Высшая алгебра представляет собой далеко идущее, но вполне естественное обобщение основного содержания школьного курса элементарной алгебры. Линейная алгебра, являющаяся большой наукой, посвященной в основном теории матриц и связанной с нею теории линейных преобразований векторных пространств, включает в себя также теорию форм, теорию инвариантов и тензорную алгебру, играющую важную роль в дифференциальной геометрии. Теория векторных пространств получает дальнейшее развитие вне алгебры, в функциональном анализе (бесконечномерные пространства). По разнообразию и значительности приложений как в математике, так и в механике, физике и технических науках линейная алгебра остается пока первой среди многочисленных ветвей алгебры.
Теория полей оказалась естественной областью для дальнейшего развития теории уравнений, а ее основные ветви - теория полей алгебраических чисел и теория полей алгебраических функций - связали ее, соответственно, с теорией чисел и теорией функций комплексного переменного. Курс высшей алгебры включает в себя элементарное введение в теорию полей, а некоторые разделы курса - многочлены от нескольких неизвестных, нормальная форма матрицы - излагаются сразу для случая произвольного основного поля.
Более широким, чем понятие поля, является понятие кольца. В отличие от случая поля, здесь уже не требуется выполнимости деления и, кроме того, умножение может быть некоммутативным и даже неассоциативным. Простейшими примерами колец служат совокупность всех целых чисел (включая и отрицательные), система многочленов от одного неизвестного и система действительных функций действительного переменного. Теория колец включает в себя такие старые ветви алгебры, как теория гиперкомплексных систем и теория идеалов, она связана с рядом математических наук/в частности с функциональным анализом, и уже нашла некоторые выходы в физику. Курс высшей алгебры, по существу, содержит лишь определение понятия кольца.
Еще большую область применений имеет теория групп. Группой называется алгебраическая система с одной основной операцией, причем эта операция должна быть ассоциативной, хотя необязательно коммутативной, и должна обладать обратной операцией - делением, если основная операция названа умножением. Такова, например, совокупность целых чисел, рассматриваемая относительно операции сложения, а также совокупность положительных действительных чисел, рассматриваемая с операцией умножения. Группы играли большую роль уже в теории Галуа, в вопросе о разрешимости уравнений в радикалах, сейчас же они являются важным орудием в теории полей, во многих разделах геометрии, в топологии, а также и вне математики - в кристаллографии, в теоретической физике. Вообще, по широте области приложений теория групп занимает среди всех ветвей алгебры следующее после линейной алгебры место.
Предметом данной работы являются нормальные делители групп.
Задачи:
1. Дать определение группе и подгруппе, рассмотреть примеры групп.
2. Рассмотреть циклические группы.
3. Рассмотреть понятие нормальных делителей
4. Привести теорему Лагранжа и следствия из неё.
5. Рассмотреть использование нормальных делителей групп при решении задач.

Список использованных источников

1. Куликов Л.Я. и теория чисел: Учеб. пособие для педагогических институтов. – : Высш. школа, 1979. – 559 с., ил.
2. Кострикин А.И. Введение в алгебру: Учебник для вузов. – М.: Физматлит, 2004. – 272 с.
3. Фаддеев Д.К. Сборник задач по высшей алгебре. – М.: Наука, 1977. – 288 с.
4. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: Наука, 1968.
5. Окунев Л.Я. Сборник задач по высшей алгебре – М.: Просвещение, 1964.

Общий объем: 30 стр.

Год: 2013

Пусть заданы группы g 1 = (G 1 , ⋅, 1) и g 2 = (G 2 , ⋅, 1) Отображение f: G 1 → G 2 называют гомоморфизмом группы g 1 в группу g 2 (гомоморфизмом групп), если для любых x, у ∈ G 1 выполняется равенство f(x ⋅ у) = f(x) ⋅ f(у), т.е. образ произведения любых двух элементов группы g 1 при отображении f равен произведению их образов в группе g 2 .

Если отображение f сюръективно (биективно), то его называют эпиморфизмом (изоморфизмом) групп. В этом случае говорят также об эпиморфизме (изоморфизме) группы g 1 на группу g 2 .

Замечание 2.5. Мы обозначили операции групп g 1 и g 2 одинаково, как это обычно и делается для однотипных алгебр, хотя, конечно, это разные операции разных групп.

Пример 2.21. Пусть g 1 = (ℤ, +, 0) - аддитивная группа целых чисел, а g 2 = ℤ +k - аддитивная группа вычетов по модулю k.

Зададим отображение f так: для всякого целого m образ f(m) равен остатку от деления m на k. Можно проверить, что для любых целых тип имеет место равенство f(m + n) = = f(m ⊕ k f(n), т.е. для целых чисел остаток от деления суммы на к равен сумме по модулю к остатков от деления на к каждого слагаемого.

Следовательно, данное отображение есть гомоморфизм группы g 1 в группу g 2 . Далее, поскольку любое целое число от 0 до k - 1 есть остаток от деления на k какого-то числа, то отображение f является и эпиморфизмом группы g 1 на группу g 1 .

Теорема 2.14. Пусть g 1 , g 2 - произвольные группы. Если f: g 1 → g 1 - гомоморфизм, то:

  1. образом единицы (нейтрального элемента) группы g 1 при отображении f является единица группы g 2 , т.е. f(1) = 1;
  2. для всякого элемента х группы g 1 образом элемента x -1 является элемент -1 , обратный элементу f(x), т.е. f(x -1) = -1 .

◀ Согласно определению гомоморфизма, для произвольного x ∈ g 1 имеем f(х) ⋅ f(1) = f(х ⋅ 1). Далее, f(х ⋅ 1) = f(х), т.е. f(x) ⋅ f(1) = f(x). Следовательно, f(1) = (f(х)) -1 ⋅ f(х) = 1, т.е. f(1) = 1

Докажем второе утверждение теоремы. Используя определение гомоморфизма и уже доказанное первое утверждение теоремы, получаем

f(x -1) ⋅ f(x) = f(x -1 ⋅x) = f(1) = 1, т.е. f(x -1) = -1

Множество f(G 1) - образ носителя группы g 1 при гомоморфизме f - замкнуто относительно умножения группы g 2 . Действительно, если g 2 , g 2 " ∈ f(g 1), то существуют такие g 1 , g 1 " ∈ g 1 что f (g 1) = g 2 и f (g 1 ") = g 2 ". Тогда

g 2 g 2 " = f(g 1)f(g 1 ") = f(g 1 g 1 ") ∈ f(g 1).

Из теоремы 2.14 следует, что f(g 1) содержит единицу этой группы и вместе с каждым элементом обратный к нему элемент. Это значит, что можно определить подгруппу группы g 2 носителем которой будет множество f(g 1). Эту группу называют гомоморфным образом группы g 1 при гомоморфизме f.

Группу K называют просто гомоморфным образом группы g , если существует гомоморфизм группы g на группу K . Так, группа ℤ *k при любом k > 1 является гомоморфным образом аддитивной группы целых чисел (см. пример 2.21).

Обратимся к следующему примеру.

Пример 2.22. Рассмотрим мультипликативную группу (С\ {0}, ⋅, 1) комплексных чисел с обычной операцией умноже- умножения комплексных чисел. Легко понять, что эта группа не что иное, как мультипликативная группа поля комплексных чисел.

Рассмотрим также группу М 2 невырожденных квадратных матриц второго порядка с операцией умножения матриц (см. пример 2.9.е).

Определим отображение f множества ℂ комплексных чисел в множество квадратных матриц второго порядка, положив для произвольного ненулевого комплексного числа а + bi, что

Покажем, что f - гомоморфизм групп. С одной стороны,

f[(a + bi)(с + di)] = f[(ac - bd) + i(ad + bc)] =

С другой стороны,

Следовательно,

f[(a + bi)(с + di)] = f(a + bi) f(с + di).

Таким образом, отображение f - гомоморфизм групп, а гомоморфный образ мультипликативной группы комплексных чисел при f - это подгруппа K группы матриц M 2 , состоящая из матриц вида Здесь мы учли, что любая матри ца вида является образом некоторого комплексного числа (а именно а + bi) при отображении f. Группа K - собственная подгруппа группы M 2 . #

Сформулируем без доказательства одно важное свойство гомоморфизмов групп.

Теорема 2.15. Если f - гомоморфизм группы g в группу K, a g - гомоморфизм группы K в группу L, то композиция отображений f॰g есть гомоморфизм группы g в группу L. #

Рассмотрим некоторые свойства изоморфизмов групп.

Теорема 2.16. Если f: g 1 → g 2 - изоморфизм группы g 1 на группу g 2 то отображение f -1 , обратное к отображению f, есть изоморфизм группы g 2 на группу g 1 .

◀Пусть х и у - произвольные элементы группы g 2 , пусть также х = f(u), а у = f(v), где u и v - элементы группы g 1 .

f -1 (xy) = f -1 (f(u)f(v)) = uv = f -1 (x) f -1 (y),

т.е. отображение f -1 - гомоморфизм второй группы в первую. Но так как отображение, обратное к биекции, есть биекция, то f -1 - изоморфизм группы g 2 на группу g 1 .

Группы g и K называют изоморфными , если существует изоморфизм одной из них на другую. При этом используют обозначение g ≅ K.

Изоморфные группы с точки зрения их алгебраических свойств совершенно одинаковы, хотя их элементы могут иметь различную природу. Вернемся в этой связи к примеру 2.22. Легко убедиться в том, что определенное там отображение а множества комплексных чисел на множество квадратных матриц специального вида является биекцией. Следователь- Следовательно, мультипликативная группа комплексных чисел и группа матриц указанного вида с операцией умножения матриц изо- изоморфны, хотя элементы этих групп на первый взгляд не имеют между собой ничего общего.

Определение 2.8. Ядром гомоморфизма f группы g в группу К называют прообраз Кег f единицы группы g при гомоморфизме f: Кегf = f -1 (1)⊆ G.

Пример 2.23 . Ядром гомоморфизма, рассмотренного в примере 2.21, служит множество всех целых чисел, делящихся на k.

Теорема 2.17 . Ядро Кегf гомоморфизма f: g → K есть подгруппа группы g .

◀Нужно убедиться в том, что множество Кег f замкнуто относительно умножения группы Q, содержит единицу этой группы и вместе с каждым элементом содержит обратный к нему элемент.

Если a, b ∈ Ker f, т.е. f(a) = f(b) = 1, то f(ab) = f(a)f(b) = = 1 и аb ∈ Кегf. Ясно, что 1 ∈ Kerf, так как f(1) = 1 (см. теорему 2.14). Если а ∈ Кегf, то f(а -1) = -1 = 1 -1 = 1, т.е. и a -1 ∈ Кегf.

Ядро гомоморфизма, приведенного в примере 2.21, представляет собой подгруппу аддитивной группы целых чисел, состоящую из всех чисел, кратных k.

Подгруппа Н группы g называется нормальной подгруппой (нормальным делителем) группы g , если аН = На для любого a ∈ G.

В коммутативной группе, как было отмечено выше, аН = = На. Следовательно, в этом случае любая подгруппа является нормальным делителем.

Пусть H = (H, ⋅, 1) - подгруппа группы g = (G, ⋅, 1). Для фиксированных элементов a, b ∈ G через аНb обозначим множество всех произведений вида ahb, где h ∈ Н. В силу ассоциативности групповой операции это обозначение корректно.

Теорема 2.18. Подгруппа H = (H, ⋅, 1) является нормальным делителем группы g = (G, ⋅, 1) тогда и только тогда, когда аНа -1 ⊆ Н для любого а ∈ G.

◀Если Н - нормальный делитель, то для любого а ∈ G аН = = На, т.е. для любого h ∈ H найдется такое h 1 ∈ H, что аh = = h 1 a. Пусть элемент х ∈ аНа -1 , т.е. x = aha -1 для некоторого h ∈ Н. Так как ah = h 1 а, то х = h 1 аa -1 = h 1 ∈ H и поэтому аHа -1 ⊆ H.

Обратно, если аНа -1 ⊆ H, то любой элемент х = aha -1 , где h ∈ Н, принадлежит и множеству H, т.е. aha -1 = h 1 для некоторого h 1 ∈ H. Отсюда, умножая последнее равенство на a справа, получим ah = h 1 a, т.е. элемент ah из левого смежного класса аН принадлежит и правому смежному классу На. Итак, аН ⊆ На.

Теперь возьмем для произвольного a ⊆ G обратный к а элемент а -1 и для него запишем включение а -1 На ⊆ H (напомним, что (а -1) -1 = а). Рассуждая как и выше, получим, что для некоторых h, h 1 ∈ H имеет место равенство a -1 h = h 1 a -1 , т.е. ha = ah 1 и На ⊆ аH. Итак, аН = Hа и H - нормальный делитель.

Оказывается, существует связь между понятием нормального делителя и понятием гомоморфизма, которая продолжает и углубляет на новом уровне уже известную нам из главы 1 связь между понятиями отображения и класса эквивалентности.

Теорема 2.19. Ядро гомоморфизма f группы g в группу K является нормальным делителем группы g .

Для любого у ∈ Кег f и любого a ∈ G имеем

f(aya -1) = f(a)f(y)f(a -1) = f(a)⋅0⋅f(a -1) = f(a)f(a -1) = 1

Это значит, что для любого а ∈ G выполняется соотношение а(Кег f)а -1 ⊆ Кег f, а, согласно теореме 2.18, Кегf - нормальный делитель.

Пусть H = (H, ⋅, 1) - нормальный делитель группы g = = (G, ⋅, 1). Рассмотрим множество всех левых смежных классов {аН: a ∈ G}. Это будет не что иное, как фактор-множество множества G по определенному выше (см. теорему 2.11) отношению эквивалентности ~ H .

Введем операцию умножения на множестве всех левых смежных классов следующим образом: произведением аН ⋅ bН классов аН и bН назовем класс аbН.

Это определение корректно, так как множество аН ⋅ bН, т.е. множество всех произведений вида ahbh 1 для различных h, h 1 ∈ H, в силу того что Hb = bH для всякого b ∈ G, совпадает с левым смежным классом аbH. Действительно, поскольку hb = = bH" для некоторого h" ∈ H, то ahbh 1 = abh"h 1 ∈ аbH.

Теперь рассмотрим некоторый х ∈ аbH, т.е. x = abh для некоторого x ∈ Н 1 . Поскольку bh = h"b для некоторого h" ∈ Н, то х = аx"b = ah"b1 ∈ aHbH. Следовательно, аH ⋅ bН = abH.

Можно далее легко показать, что для каждого a ∈ G имеют место аН ⋅ Н = Н ⋅ аН = аН и аН а -1 Н = а 1 Н ⋅ аН = Н. Тем самым определена группа, носителем которой является фактормножество G/~ H множества G по отношению эквивалентности ~ H с операцией умножения левых смежных классов, причем нейтральным элементом относительно этой операции служит носитель подгруппы H, а обратным к левому смежному классу аН будет левый смежный класс а -1 Н. Эту группу называют фактор-группой группы g по нормальному делителю H и обозначают g /H. Можно указать естественный гомоморфизм f группы g в фактор-группу g /H, который вводится согласно правилу: (Aх ∈ G)(f(x) = хН). Так как хН ⋅ уН = хуН, то для любых x,y ∈ G f(xy) = xyH = хН⋅ уН = f(x)f(y) и f - действительно гомоморфизм. Его называют каноническим гомоморфизмом группы g в фактор-группу g /H.

Пример 2.24. а. Рассмотрим аддитивную группу ℝ = = (ℝ, +, 0) действительных чисел. Эта группа коммутативна. Напомним, что в коммутативной группе любая подгруппа будет нормальным делителем. Поэтому для нее нормальным делителем является подгруппа целых чисел ℤ = (ℤ, +, 0) (аддитивная группа целых чисел). (Для этих групп мы приняли такие же обозначения, как и для их носителей: ℝ и ℤ соответственно.)

Выясним смысл отношения экивалентности ~ ℤ определяемого через равенство левых смежных классов*, по подгруппе ℤ в этом случае.

Равенство левых смежных классов а + ℤ = b + ℤ означает, что для любого целого m найдется такое целое n, что а + m = b + n, т.е. a-b = n-m ∈ ℤ. Обратно, если разность а - b есть целое число, т.е. a -b = n ∈ Z, то a + Z = (b + n) + ℤ = b + ℤ. Итак, a~ ℤ b тогда и только тогда, когда а - b ∈ ℤ, или, иначе говоря, действительные числа а и b ~ ℤ - эквивалентны тогда и только тогда, когда их дробные части равны.

*Мы можем говорить в данном случае просто о смежных классах, не различая левых и правых, так как для нормального делителя эти классы равны, тем более что мы „работаем" сейчас в коммутативной группе.

Аддитивная группа смежных классов, т.е. фактор-группа ℝ/ℤ группы ℝ по нормальному делителю ℤ строится так: сумма классов а + ℤ и b + ℤ равна классу (а + b) + ℤ. Вводя обозначение а + ℤ = [а], получаем [а] + [b] = [а + b]. При этом = ℤ (т.е. единица фактор-группы - это смежный класс нуля - множество всех целых чисел), причем -[а] = [-а] = (-а) + ℤ. Обратим внимание на то, что смежный класс числа х однозначно определяется его дробной частью (см. пример 1.14.6), т.е. [х] = . Канонический гомоморфизм в данном случае задается так: х ↣ [х].

б. Рассмотрим теперь аддитивную группу действительных чисел по модулю 1 , т.е. группу S 1 = (: а ∈ ℝ} смежных классов в полуинтервал ) = . Поскольку [х] = - биекция и, кроме того,

φ([х] + [y]) = φ([х+y]) = = + > = ⊕ 1 = φ ([х]) ⊕ 1 φ ([y]).

Это значит, что φ - изоморфизм ℝ/ℤ на S 1 .

Группу S 1 можно воспринимать как „наглядный образ" фактор-группы ℝ/ℤ. Довольно абстрактная идея фактор-группы кристаллизуется в виде группы с носителем }

Понравилась статья? Поделиться с друзьями: